Родился в 1909 году в Гаврилов-Посаде Ивановской области. В городе Шуе учился в текстильном техникуме, который окончил в 1932 году. В 1933 году Леонид Сергеевич приехал жить в Клязьминский Городок. Работал сначала мастером, а затем инженером на текстильной фабрике «Коммунар».
С 1943 года по ноябрь 1944 года учился в пехотном училище во Владимире.На фронт ушёл лейтенантом миномётного расчёта. Участвовал в битве за Одер, где за умелые действия в бою получил похвальную грамоту. На фронте лейтенант Шустиков стал членом КПСС. В боях за Берлин Леонид Сергеевич Шустиков пал смертью храбрых. 29 апреля 1945 года похоронен с воинскими почестями в Берлине.
Награжден Орденом Красной Звезды
.
